Il valore intermedio teorema è stato formulato in modo indipendente da Bolzano nel 1817 e nel 1821. Il teorema di Cauchy Bolzano – Cauchy può essere generalizzata a spazi topologici più generali. Ogni funzione continua definita in uno spazio topologico connesso che prende due valori e prende ciò che è tra loro.
Notazione formale. Sia dare uno spazio e lasciate caratteristica topologica collegato e quindi in questa formulazione, il teorema è un caso speciale di immagine di un insieme connesso sotto una mappatura continua è collegato.
Si consideri che la funzione è continua in un segmento e indicano che v’è un punto di divisione il segmento da un punto in due segmenti di lunghezza uguale, allora è il punto desiderato o alla fine di una delle gamme ottenuti, la funzione assume valori diversi segni (estremità sinistra minore di zero, la più a destra).
Una volta che il segmento contrassegnato ottenuta, si divide nuovamente in due segmenti uguali lungo la lunghezza, ecc Quindi, sia attraverso un numero finito di passi, si arriva al punto desiderato o ottiene una sequenza di segmenti annidato lungo la lunghezza tende a zero e tali che.
Sii il punto comune tutti i segmenti (secondo il principio di Cantor, esiste ed è unico).
Le conseguenze del teorema
- (teorema sullo zero di una funzione continua. ) Se la funzione è continua su un segmento e alle estremità di questo segmento assume valori di segno opposto, allora v’è un punto in cui esso è uguale a zero.
- in particolare, qualsiasi polinomio di grado dispari ha allo almeno uno zero
- volte (in formazione) formula a zero è chiamato primo teorema Bolzano -. Cauchy, e la formula generale è chiamato secondo teorema, rispettivamente. In realtà, sono equivalenti.
Teorema dei valori intermedi funzioni continue
Teorema (Bolzano-Cauchy). Se la funzione f è continua nell’intervallo [a, b], f (a) = a ef (b) = b, allora per ogni c, realizzato tra A e B, v’è un punto [uno, b] che
F () = c
Una funzione che è continua in un intervallo finito o infinito, prendendo due valori, prendendo tutto intermedio.
Maggiore precisione, lasciate f (a) = a c. Nel primo caso, il segmento selezionare [(a + b) / 2, b], ed il secondo segmento [a, (a + b) / 2]; il segmento selezionato è indicato con [a 1, b 1]. Ovviamente, f (1)
C, quindi = (a + b 1 1) / 2 se f ((a + b 1 1) / 2) c, allora abbiamo scelto i segmenti risultanti che è all’estremità sinistra il cui valore è funzione inferiore c, e destra – più di c, ecc Poi, attraverso un numero finito di passi si ottiene un punto medio di un segmento tale che f () = c, allora la prova teorema, o un sistema di segmenti integrati [an, bn] tali che
F (w)
Ma sotto f (n)
da (7.11) e (7.12) che la f ()
Di conseguenza, se la funzione è continua nell’intervallo ed estremità assume valori dei segnali diversi, allora in questo intervallo sono almeno un punto.
La formula descritta sopra discende dal fatto che, prendere qualsiasi valore a due punti di un certo intervallo, una funzione continua in esso, secondo il teorema 2, assume tutti i valori intermedi in un segmento con estremità in questi punti. E questo segmento, ovviamente, è contenuta nel periodo.
